Comment savoir si mon système, sous forme d’une représentation d’états, est stable en boucle ouverte ?

Sur papier

Étape 1 : Calcul du polynôme caractéristique en boucle ouverte

On utilise la formule :

$P(s) = |sI - A|$ E.g :

$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ $P(s) = |sI - A| = \begin{vmatrix} s & -1 \\ -3 & s - 2 \end{vmatrix}$ $\implies P(s) = s(s - 2) - 3 = s^2 - 2s - 3$

Étape 2 : Conclure par les pôles du polynôme caractéristique

E.g :

$s^2 - 2s - 3 = (s+1)(s-3)$ On a donc deux pôles : -1 et 3. Ce sont également les valeurs propres de la matrice A.

3 étant sur la partie droite du plan complexe, on peut donc conclure que le système en boucle ouverte est instable.

Sur Matlab

On retrouve très facilement les valeurs propres de A sur Matlab :

eig(A)

Si l’une est sur la partie droite du plan complexe, le système est instable.